Wstęp
Do tej pory mowa była cały czas o prądzie stałym, w którym elektrony
poruszały się w jednym ustalonym kierunku. Prąd zmienny natomiast
może pulsować (wtedy również poruszają się w jednym kierunku, ale
natężenie w różnych chwilach nie jest stałe, lecz pulsuje). Taki prąd
nazywamy pulsującym. Natomiast częściej spotykamy prąd przemienny –
pulsuje on w obu kierunkach, co chwila zmieniając kierunek przepływu.
Wykresem zależności I(t), czyli natężenia prądu od czasu w przypadku
prądu stałego jest linia prosta y=a, gdzie a to natężenie prądu. Prąd
przemienny natomiast może mieć różne przebiegi ( wykresy i(t) )
jednak najbardziej popularny jest przebieg sinusoidalny. Jak już
zauważyliście z mojego zapisu: wielkie I oznacza prąd stały, małe –
zmienny. Wykresem takim wtedy jest y=sin(t). Chyba każdy umie sobie
takie zjawisko wyobrazić, jest natomiast kilka spraw, które wymagają
opisu. [[ y =sin(t) podałem tylko jako przedstawienie kształtu
takiego przebiegu ]]
Częstotliwość, pulsacja, amplituda, faza, przesunięcie fazowe
Trochę pojęć się nam teraz narobiło. Po kolei: częstotliwość
(mierzona w jednostkach zwanych Hercami – odwrotność sekundy) to
liczba okresów przypadająca na jedną sekundę. Okres to nic innego jak
jeden pełen cykl przepływu, czyli 2*Pi na wykresie przebiegu.
Częstotliwość zaznaczamy literką f (ang: frequency). Łatwo policzyć,
że przykładowy prąd o częstotliwości 50 Hz (herców), wykonuje 100
zmian na sekundę (jako zmianę mam na myśli chwilowy ruch elektronów z
jednego kierunku na drugi). W praktyce stosuje się właśnie takie duże
częstotliwości, zatem tak naprawdę cała ta pulsacja jest dla naszego
oka niezauważalna. Częstotliwość 50 Hz mamy na przykład w naszych
domowych gniazdkach, mimo to nie zauważamy migotania żarówki, gdy
pulsuje prąd. Człowiek zauważa pulsowanie w granicach 20-25 Hz.
Pulsacja jest proporcjonalna do częstotliwości (ang: pulsation). Mówi
ona o jaką miarę konta na wykresie przebiegu zmienia się prąd w
jednej sekundzie. Zatem nic prostszego, ponieważ jeden Herc odpowiada
360 stopni, wystarczy częstotliwość pomnożyć przez 2*Pi (około 6,28)
i już mamy pulsację (Wielkość tę mierzymy w radianach na sekundę, ale
ponieważ radian nie ma fizycznego wymiaru to cała jednostka
przypomina Herca – jednak nią nie jest). Piszemy wtedy s^(-1)
(odwrotność sekundy)
Amplituda opisuję maksymalną wartość chwilową prądu dla przebiegu
sinusoidalnego. Są to po prostu wartości szczytowe (tzw „górki” na
wykresie wykresie=sin(x)).
Faza, to pojęcie dość nietypowe. Aby je wyjaśnić, posłużymy się
wyobrażonym przez was rysunkiem. Załóżmy, że mamy dwa wykresy prądu
sinusoidalnego, te same pulsacje oraz te same amplitudy. Teraz: jeden
wykres jest przesunięty względem drugiego o jakiś kont. W ten sposób,
prądy te mają tę samą pulsację, tę samą amplitudę, ale różnią się
fazami.
Wszystkie powyższe wykresy opieraliśmy na funkcji i(t), czyli
zależności prądu od czasu, równie dobrze jednak można narysować
funkcję u(t), czyli zależność napięcia od czasu.. będzie on też
sinusoidalny. W niektórych obwodach po zastosowaniu różnych elementów
(o czym dowiesz się niedługo), prąd może opóźniać się nieco za
napięciem lub też odwrotnie. Kąt pomiędzy napięciem a natężeniem w
takim obwodzie nazywamy przesunięciem fazowym.
Rezystor zasilany prądem sinusoidalnym, opór czynny, wartość
skuteczna
Zastanówmy się nad sytuacją, gdy przez rezystor przepływa prąd
przemienny sinusoidalny o określonej pulsacji. Jakie jest natomiast
jego natężenie? Jak je wyliczyć? Chcąc obliczyć średni prąd, biorąc
pod uwagę kierunek – gdy przepływa w jedną stronę jest dodatni
(chwilowo), w drugą natomiast – ujemny. Można oczywiście podawać
wartości chwilowe, które będą się zmieniały w granicach od amplitudy
do… minus amplitudy. Ale oczywiście tak się nie robi – obliczamy tzw.
wartość skuteczną prądu. Bynajmniej nie jest wartość średnia prądu.
Wartość skuteczna prądu przemiennego jest to taka wartość prądu
stałego, który w tym samym czasie równym jednemu okresowi wydziela na
rezystorze tę samą ilość ciepła. Np. Prąd stały o natężeniu wywołuje
taką samą ilość ciepła w jednym okresie, co inny prąd zmienny. Z tego
wynika, że wartość skuteczna wyżej opisanego prądu zmiennego jest
równa wartości prądu stałego. Elektronicy już automatycznie umieją
szybko obliczyć wartość skuteczną, jest to nic innego jak wartość
amplitudy, podzielona przez pierwiastek z dwóch. A jest to
przybliżając: Esk = 0,707 Em. Chyba łatwo zapamiętać, a jest to dość
ważne, gdyż od tej pory bierzemy pod uwagę tylko wartość skuteczną.
Istnieje również coś takiego jak wartość średnia prądu, ale na razie
nie musicie się tym zajmować. (dla zainteresowanych, jest to 0,636
wartości amplitudy). Jeszcze jedna uwaga: wartości skuteczne jak i
średnie możemy odwołać tez do napięcia, a współczynniki są takie same.
Teraz gdy już znane jest ci pojęcie wartości skutecznej, można
wstawić opornik do obwodu prądu zmiennego. Jak się ma tu sytuacja w
przypadku prawa Ohma? Otóż – dokładnie tak samo, ale z jedną istotną
różnicą. Bierzemy pod uwagę wartości skuteczne prądu i napięcia.
U = I*R, I = U/R – wzory oba są prawdziwe dla prądu przemiennego, pod
warunkiem, że U oznacza wartość skuteczną napięcia, a I –wartość
skuteczną prądu. W innym przypadku wzór ten nie jest prawdziwy.
Z dalszych części kursu, dowiesz się co to jest opór bierny i z
czysto się to je – zatem najpierw poznajmy definicję oporu czynnego.
Rezystor zasilany prądem zmiennym powoduje opór tzw. czynny – jego
wartość nie zależy od pulsacji prądu. W każdym przypadku jest taki
sam, można go wyznaczyć z prawa Ohma (pamiętamy tu jednak o
wartościach skutecznych). Jest istotna różnica w oporze czynnym jak i
biernym – są to inne wielkości, choć oba mierzone w jednostkach
zwanych omami. Ważnym tutaj pojęciem jest też przesunięcie fazowe.
Jeżeli chcemy na jednym wykresie przedstawić przebiegi i(t) oraz u(t)
dla rezystora zasilanego prądem sinusoidalnym to prąd jest w fazie z
napięcie, jednak jego amplituda jest mniejsza.
I jeszcze jedna ważna uwaga: rozważając rezystor zasilany prądem
przemiennym mam na myśli obwód składający się tylko i wyłącznie z
rezystora i źródła napięcia zasilającego + przewody łączące.
Cewka indukcyjna, reaktancja
Cewka to nic innego jak zwoje nawinięte na jakiś rdzeń (lub też bez
rdzenia). To co charakteryzuje cewkę, to jej indukcyjność (mierzona w
Henrach). Na schematach cewkę oznaczamy przez linię łamaną (spiralę)
literką L. (ang: inductor). Przepływ prądu przemiennego przez cewkę
powoduje indukcję własną, im pulsacja prądu jest większa – tym
większa jest indukcja własna cewki – tym większy opór stawia prądowi.
Opór ten nazywamy biernym (reaktancją, ang: reactance), gdyż zależy
on od wartości pulsacji danego prądu (jest zmienny). Dla danej cewki
podaje się tylko wartość indukcyjności mierzonej w Henrach, natomiast
reaktancję liczymy mnożąc indukcyjność i pulsacje. Reaktancję
oznaczamy literką X. Od razu kilka niepokojących wyjaśnień:
powiedziałem, że wartość reaktancji cewki dla danego prądu zależy od
jego pulsacji… ale jak na to wpływa pulsacja napięcia? Otóż tak samo,
gdyż w naszych układach wartość pulsacji napięcia na źródle jest taka
sama jak prądu oraz napięcia na wszystkich elementach obwodu – zatem
– nie musimy się tym przejmować. Jednostką reaktancji jest oczywiście
om (gdyż dalej jest to opór elektryczny). I kolejna ważna uwaga:
cewka w przypadku prądu stałego jest niczym innym jak przewodnikiem
(zwiera zaciski, gdyż nawet wynika to ze wzoru, pulsacja równa jest
zeru, cała reaktancja równa jest 0 – zwarcie!). Najogólniej mówiąc:
Reaktancja indukcyjna jest równa iloczynowi pulsacji (omega) i
indukcyjności L. Prawo Ohma tak samo ma się dla cewki jak i rezystora,
pamiętamy jednak o wartościach skutecznych oraz o tym, że zamiast
oporu czynnego – jest reaktancja indukcyjna. Ale dlaczego jest to
inny opór niż czynny? Otóż wlutowanie cewki w obwód (tylko cewka,
źródło i przewody – nic więcej), powoduje taką oto niemiłą sytuację:
napięcie na cewce wyprzedza o kąt 90 stopni fazę prądu. Można też
zdefiniować odwrotnie: prąd opóźnia się w fazie o 90 stopni względem
napięcia na cewce (na jej zaciskach). Prąd i napięcie są po prostu
przesunięte fazowo. To czyni różnice pomiędzy oporem czynnym i
biernym i należy je rozróżniać.. i zaraz się dowiecie jak to robić.
Chcąc oznaczyć w jakimś stopniu opór bierny, aby móc go odróżniać
należy skorzystać z zespolenia reaktancji. Przyda się to nieco
później również w obliczaniu całej „impedancji” i prądów w obwodzie.
Możemy przedstawić reaktancję jako urojoną część ogólnego „oporu”
elektrycznego, dodając przed nią literkę „j” (jednostkę urojoną). Aby
oczywiście rozumieć dalszą część artykułu należy znać liczby
zespolone. Oznaczanie jX, oznacza reaktancję zespoloną, ale samą
wartością reaktancji jest oczywiście X, „j” jest w tym przypadku
samym współczynnikiem, który mówi nam o urojeniu reaktancji, jako
czegoś, co nie jest w „wymiarze” zwykłego oporu. Specjalnie
oznaczyłem urojenie przez „j” a nie jako „i” standardowo w matematyce,
jako „imaginary”, ponieważ niektórym może się pomieszać z prądem
zmiennym – również oznaczany przez „i”. Podsumowując: Reaktancja na
cewce jest proporcjonalna do pulsacji prądu, cewka indukcyjna stwarza
duży opór prądom wielkiej częstotliwości. Urojenie ogólnie odnosić
się będzie do fizycznych wielkości BIERNYCH.
Kondensator, reaktancja pojemnościowa
Kondensator mam nadzieję, że każdy wie jak wygląda i do czego służy
(dwie okładki zgromadzające ładunek przy przyłożonym napięciu). Na
schematach oznaczany jako dwie kreski równoległe, tak jak "rysunek
poniżej:
------------||--------------
Jego pojemność określa się w faradach. Pojemność to nic innego jako
współczynnik proporcjonalności pomiędzy ładunkiem jaki może mieścić
materiał do napięcia. Działa on na zasadzie odwrotności cewki
indukcyjnej. W przypadku prądu stałego, ładunki szybko zgromadzą się
na okładkach i mamy przerwę w obwodzie (obwód otwarty, I = 0 A). W
przypadku prądu przemiennego – intuicyjnie – im szybciej pulsuje, tym
ładunki się szybciej zmieniają. I mimo, że obwód jest fizycznie
„otwarty” – prąd płynie. Im większa pulsacja – tym łatwiej „mu to
idzie”. Zatem – kondensator stwarza duży opór prądom małej
częstotliwości. W przypadku wyobrażonej pulsacji nieskończenie
wielkiej – zwarcie! (nie przebicie – nie mylić pojęć!) Opór na
kondensatorze jest również reaktancją, ale pojemnościową, obliczamy
ją jako odwrotność iloczynu pulsacji oraz pojemności kondensatora. X
= 1/ (omega * C). Na kondensatorze (odwrotnie do cewki), faza prądu
wyprzedza fazę napięcia o 90 stopni (można też oczywiście powiedzieć
odrotnie…). Czasami oznacza się reaktancję indukcyjną z indeksem L,
natomiast pojemnościową z indeksem C. Prawo Ohma – tak samo jak w
przypadku rezystora i cewki (chyba nie trzeba trzeci raz tłumaczyć).
Zespolenie polega na urojeniu mianownika, co automatycznie powoduje,
że powstaje wyrażenie: odwrotność urojenia, co jak wiedzą po
niektórzy matematycy – daje liczbę –j (z minusem!), ponieważ ( 1/j =
-j ). Można zatem oznaczyć reaktancję pojemnościową zespoloną jako –
j*(1/omega*C). Tak też będziemy robili.
UWAGA: Na pewno niektórych zastanawia fakt różnicy w fazach:
„napięcie spóźnia się za prądem o 90- stopni” – jak to możliwe, skoro
w chwili czasu równym 0, gdy napięcie jest równe 0 – prąd ma
maksymalną wartość – niemożliwe! Skąd się tam wziął, skoro obwód
jeszcze nawet nie został włączony? Otóż: mowa tu jest o stanie
ustalonym obwodu, czyli takim, który już się nie zmienia. Nie mówimy
tu o istotnym „włączeniu” czyli zamknięciu obwodu – dzieją się wtedy
różne rzeczy – jest niestabilny. Dlatego patrząc na wykres : wartość
zero oznacza start stanu ustalonego (stabilnego) obwodu, a nie chwila
zamnięcia obwodu.
Połączenie R, L, C – impedancja
Impedancja (ang: impedancje) to nic innego jak łączny opór wszystkich
elementów układu : biernych i czynnych. My oczywiście posługiwać
będziemy się impedancją zespoloną, aby od razu rozkładać ją na część
czynną oraz urojoną bierną. I od razu może, żeby nie zwlekać weźmiemy
się za jakiś dobry przykład. Niech będzie obwód złożony z : źródła
napięcia oraz trzech elementów połączonych szeregowo (rezystora,
cewki i kondensatora). Przyjmijmy sobie też jakieś dane:
E = 220 [V] (napięcie na źródle)
C = 15 [mikro F] (pojemność kondensatora)
L = 0,6 [H] (indukcyjność cewki)
R = 150 [om] (rezystancja opornika)
Omega = 100*pi [s^(-1) , rad/sek] (pulsacja napięcia na źródle)
Naszym celem jest obliczenie – jaki będzie płynął prąd w tymże
obwodzie. Ponieważ chcemy ostro sprecyzować naszą odpowiedź – podamy
wartość skuteczną prądu oraz kąt miedzy jego fazą, a fazą napięcia na
źródle. Mówiliśmy, że na cewce i kondensatorze, przesunięcie fazowe
między napięciem a prądem jest ściśle określone – to oczywiście
prawda, ale w przypadku włączenie tych dwóch elementów w obwód –
przesunięcie może być już inne, zależne od impedancji całego układu.
Nasz przykładowy układ nie jest nazbyt skomplikowany. Przede
wszystkim, należało by obliczyć całą impedancję układu tych trzech
elementów (podobnie jak w przypadku rezystancji zastępczej przy
prądzie stałym), a następnie podzielić ją przez napięcie – i to –
teoretycznie dało by nam prąd. Owszem – tak zrobimy – musimy jednak
pamiętać o kilka rzeczach. Mówiąc tu napięcie, mamy na myśli wartość
skuteczną napięcia na źródle – a więc jeśli dana jest tylko amplituda
– wyliczamy wartość skuteczną. Załóżmy, że w tym przypadku jest dana
amplituda prądu (220 V). Obliczamy wartość skuteczna mnożąc przez
0,707 i otrzymujemy, że Esk= 155,54 V.
Teraz należało by policzyć wszystkie opory naszych elementów.
Pierwszy opór już mamy: rezystancja wynosi 150 om, i jest to opór
czynny – nie musimy się nad nim dłużej rozmyślać. Następnie widzimy
cewkę. Wiadomo jak liczymy wartość reaktancji, zatem po wymnożeniu
otrzymujemy, że XL = 188,4 om. Wartość reaktancji dla kondensatora
też łatwo liczmy, pamiętajmy jednak o odwrotności i o tym, że w
naszych przypadku jednostką jest mikro farad, musimy też zastosować
odpowiedni mnożnik (tutaj równy jest on 10^(-6) ). Po obliczeniu: Xc
= 212,314 om. W porządku – mamy obliczone opory elementów, teraz
trzeba by jakoś obliczyć rezystancję całego układu (jego impedancję).
Bynajmniej nie można dodać tych wszystkich oporów, gdyż rezystor
wywołuje opór czynny, a cewka i kondensator – bierny. Zatem musimy
uroić opór bierny, dopisując jednostkę urojoną przy reaktancji... Tym
sposobem oddzieliliśmy opór czynny rezystora od reaktancji (teraz już
reaktancji zespolonych). Można teraz śmiało dodać te wartości, które
się zgadzają, czyli reaktancje zespolone, gdyż urojenie w naszym
przypadku wskazuje na te same obiekty. Z wzoru na reaktancję
zespoloną pojemnościową, wiemy że przy nim należy dopisać nie „j” a
„-j”. To już było przerabiane. Zatem – odejmujemy reaktancję – i
wychodzi taka oto sytuacja, że wyszło nam na minusie. Oczywiście jest
to dobrze – opór bierny może być ujemny, czynny natomiast jest zawsze
dodatni. Jeżeli tak jest jak u nas (opór bierny ujemny) to cały nasz
układ ma charakter pojemnościowy – w przeciwnym przypadku –
indukcyjny. Do naszej impedancji dodajemy jeszcze opór rezystora
(zapisując go tylko jako część rzeczywistą otrzymanej wartości
zespolonej) i wychodzi nam piękna impedancja zespolona: Z = 150 –
j23,914.
Przez wielkie „Z” oznaczamy impedancję, jak już pewnie każdy zauważył.
W naszym przypadku mieliśmy do czynienia z prostym obwodem, a co
jeśli natkniemy się na bardziej skomplikowany? Otóż zasady obliczania
rezystancji zastępczej przy połączeniach mieszanych (równoległych i
szeregowych) przenoszą się i tu, pamiętajmy jednak o zachowaniu
„zgodności typów”, jakby to programista Delphi powiedział. :)
Teraz zgodnie z prawem Ohma, możemy policzyć prąd w obwodzie – nic
prostszego – dzieląc wartość skuteczną napięcia źródła przez naszą
impedancję. Czynności takie oczywiście robimy na kalkulatorze – nikt
przecież nie będzie pisemnie dzielił liczb zespolonych – chociaż jak
ktoś nie ma takiego kalkulatora – niech dzieli.
Po obliczeniu otrzymamy: I = 1,011 + j0,161. Wynik jest w postaci
zespolonej, jak to należy rozumieć ? Otóż jest to swoisty rozkład na
składową czynną i bierną – umieśćcie liczbę tą na wykres Re =x, Im =
y – punkt będzie wskazywał wartość prądu – połączcie go ze środkiem
układu. Teraz: długość narysowanego odcinka jest wartością skuteczną
prądu jaki płynie, natomiast kąt między nim a osią Re (x) jest
przesunięciem fazowym między prądem a napięciem źródła. Jest to nic
innego jak zmiana z postaci algebraicznej, na polarną (Eulera,
eksponenta). Moduł liczby zespolonej jest wartością skuteczną – to
się nie tylko liczy prądu, ale tez napięcia. Kąt w eksponencie jest
przesunięciem fazowym. W naszym przypadku wartość skuteczna prądu
wyniosła 1,024 A (natomiast przesunięcie fazowe 9,05 [Rad] ). Również
dobrze możemy wyliczyć wszystkie napięcia na elementach i ich fazy –
wystarczy pomnożyć wyżej obliczony prąd przez opór czynny bądź też
reaktancję zespoloną – w zależności od elementu – i analogicznie jak
tutaj…
Moc czynna, bierna, pozorna
Przy prądzie stałym liczyliśmy moc jako iloczyn U*I, można też
zastosować podobny wzór, ponieważ U = I*R, to moc można przedstawić
również jako P = R*I*I, czyli R * I^2. Praktycznie częściej stosuje
się drugie rozwiązanie, gdyż nie trzeba dodatkowo liczyć napięcia na
zaciskach przy każdym elemencie. Od razu będę wyjaśniał na naszym
przykładzie. Jak wiemy moce pobrana i oddana muszą się zgadzać.
Zastanówmy się pierw czym jest moc bierna. Otóż jest to nic innego
jak iloczyn U*I (wartości skuteczne) oraz sinus kąta pomiędzy fazą
napięcia a prądu. Zaraz wszystko się wyjaśni. Zamiast stosować U*I,
jak mówiliśmy, stosujemy R*I^2. Moc bierna odnosi się do elementów:
cewka oraz kondensator. W przypadku rezystora, gdzie przesunięcie
fazowe równe jest zero, sin(fi) też jest równe zero (fi jest
oznaczeniem kąta tego przesunięcia – w zasadzie powinna być tu grecka
litera oznaczania kąta – ale z uwagi na brak możliwości tego zapisu
stosuję formę wymowną). Największą moc bierną uzyskamy oczywiście w
sytuacji przesunięcia fazowego 90 stopni – wtedy funkcja
trygonometryczna (jako swoisty mnożnik) jest równa 1. Ponieważ „R” we
wzorze oznacza opór – bierzemy pod uwagę zespolone wartości
reaktancji. Moc bierna pobierana przez dany układ jest zatem równa
sumie wszystkich mocy na cewkach i różnicy na kondensatorach
(ponieważ przy reaktancji pojemnościowej widnieje znak minus przed
urojeniem). Nie trudno wyliczyć, że nasza moc bierna łączna (cewki i
kondensatora) wyniesie 25,077 .. no właśnie czego… Otóż jest to
jednostka zwana [VA] czyli wolto – amper.
Moc czynna odnosi się do rezystora, zamiast sinusa przesunięcia mamy
cosinus. Największa moc czynna wydziela się w przypadku faz prądu i
napięcia takich samych. Nie musimy wiele sumować (jeden rezystor) i
otrzymujemy, że moc pobrana czynna wynosi 157, 28 (a jednostką jest
wat [W] ).
Teraz aby sprawdzić, czy dobrze zostało wszystko obliczone musimy
sprawdzić moc pozorną na źródle. Nic trudnego: mnożymy zespoloną
postać prądu przez wartość skuteczną napięcia. I co nam wyszło? Taka
oto liczba: 157,25 + j25,04. Pierwsza wartość jest równa mocy czynnej
(składowa czynna mocy), a druga biernej (składowa moc bierna urojona).
Oczywiście jak widać, wartości te nie są dokładnie te same – błąd
wynika w przybliżeniu do konkretnego miejsca po przecinku. Jednostką
wielkości tej jest [var] – wolto – amper reaktancyjny.
Moc bierną (P), czynną (Q) oraz pozorną (S) można interpretować na
zasadzie trójkąta prostokątnego. Moc pozorna jest jego
przeciwprostokątną, natomiast bierna i czynna – odpowiednimi
przyprostokątnymi. Kąt „fi” to kąt pomiędzy „P” a „S” – zatem nasze
mnożniki w postaci funkcji trygonometrycznych mają tu swoje graficzne
odbicie – co łatwo sobie uświadomić rysując taki trójkąt (tzw.
trójkąt mocy).
Rezonans
W obwodach, w których występuje impedancja rzadko się zdarza aby
napięcie było w fazie z prądów, praktycznie nawet się nie dopuszcza
takiego zjawiska – jest nie korzystne. Obwód jeśli już taki jest –
nazywamy rezonansowy. Rezonans powoduje tzw. obwód drgający – faza
prądu i napięcia jest taka sama. Większość elektroników zna na pamięć
jak dobrać odpowiednią pulsację w prostym układzie, aby wystąpił
rezonans. Niestety – nie wiedzą skąd to się bierze. Dla przykładu
weźmiemy nasz wyżej już przerabiany przykład. Naszym celem jest takie
dobranie pulsacji napięcia na źródle, aby wystąpił rezonans. Mamy tu
zwykłe połączenie szeregowe R, L, C – większość elektroników wie, że
pulsacja musi się równać 1/sqrt(L*C) aby był rezonans. Ale jak już
wspomniałem – nie będziecie się przecież się uczyć na pamięć
wszystkich możliwości połączeń elementów RLC i pulsacji rezonansowych,
podam wam przepis, który pozwala na obliczenie pulsacji rezonansowej
dla dowolnego połączenie dowolnych elementów.
Jak już wspomniałem, operujemy naszym przykładzikiem. Udowodnimy, że
rzeczywiście tyle pulsacja ta wynosi. Jak wiadomo – obliczając prąd
dzielimy wartość skuteczną napięcia przez impedancję zespoloną – ale
co jeśli urojenie impedancji wyniesie zero? Wtedy dzielenie zwinie
się do dzielenia dwóch liczb rzeczywistych.. i siłą rzeczy – wynik
będzie liczbą rzeczywistą. Innymi słowy: ponieważ liczby zespolone to
uogólnienie liczb rzeczywistych – część urojona wyniku w takim
przypadku wyniesie 0. Zatem – wartość skuteczna prądu będzie równa
naszemu wynikowi – a zatem: kąt przesunięcia fazowego wyniesie 0.
Skoro tak – to faza napięcia będzie równa fazie prądu – zjawisko
rezonansu!
To nas prowadzi do tego, aby mianownik w obliczaniu prądu miał zerowe
urojenie. Zatem – postarajmy się tak nastawić pulsację napięcia – aby
otrzymana w tej operacji impedancja całego układu miała zerową część
urojenia. Liczymy impedancję:
Z = R + j*omega*L + 1/(j*omega*C)
Wyłączamy przed nawias urojenie:
Z = R + j(omega*L – 1/(omega*C))
Zwróćcie uwagę na znaki powyżej. Ponieważ chcemy, aby urojenie
impedancji wynosiło 0, musimy po prostu ją brutalnie wyrwać:
jZ = omega*L – 1/(omega*C)
Jest to nic innego jak wartość urojenia, teraz musimy to wyzerować:
0 = omega*L – 1/(omega*C)
Teraz to już chyba każdy umie wyznaczyć pulsację omega, wystarczy
sprowadzić do wspólnego mianownika i otrzymujemy:
0 = ((omega^2)*L*C – 1) / (omega*L)
Skoro ułamek ma być równy 0, to wystarczy wyzerować licznik, od razu:
(omega^2)*L*C = 1
Stąd:
Omega = 1/sqrt(L*C)
Tym sposobem właśnie obliczyliśmy rezonansową pulsację.
Można też rozpatrywać inne przypadku, np. gdy pulsacja jest znana,
ale nie znamy pojemności kondensatora, czy też indukcyjności cewki.
Wystarczy wyznaczyć z powyższego wzoru. Mam nadzieję, że każdy to
zrozumiał. W ramach ćwiczeń proponuje wyliczyć do końca pulsację
rezonansową dla naszego przykładu - kalkulator i proste operacje...
|
